离散数学中的矩阵

离散数学中的矩阵论非常有用，当年很多名字，没有解释，无法理解，加上多年不碰，概念已经模糊了。近期对矩阵的应用涉及大量基本理解，是公式无法体现的，于是重新翻找出一些文献，从现在的视角重新理解矩阵。

有关线性变换 #

线性变换怎么换都有，变换也是可逆的。其原因在于，线性变换是从当前空间$\mathbb{R}^n$变换到当前空间$\mathbb{R}^n$，其转移矩阵为$\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$，这个转换是没有信息缺失的，并且$\mathbf{A}$可以存在逆矩阵。

但对于投影来说，这个过程就不太可控制了，$\mathbf{a} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{W}$，如果$\mathbf{W}$是降维投影，这里面一定存在信息丢失。如果方阵$\mathbf{A} = \mathbf{E} \cdot \mathbf{D}$，看上去也是方阵，那两次投影是如何保持信息不丢失的，这个还有待研究。直觉上感觉，通过降维再升维的两个投影矩阵合并而成的方阵，应该属于低秩矩阵。